《预防医学》 > 第二十二章　相关回归分析

二、回归分析（regression analysis）

医学上，不少娈量间虽存在一定关系，但这种关系不象函数关系那样十分确定。例如正常人的血压随年龄而增高，但这只是总的趋势，有些高龄人的血压却不一定偏高；一群正常人按年龄和血压两个变量在坐标上的方位点，并非集中在一条上升直线上，而是围绕着一条有代表性的直线上升。

直线回归分析的任务在于找出两个变量有依存关系的直线方程，以确定一条最接近于各实测点的直线，使各实测点与该线的纵向距离的平方和为最小。这个方程称为直线回归方程，据此方程描绘的直线就是回归直线。

 

（一）直线回归方程式（linear regression equation）的计算

直线回归方程的通式为：

=a+bX　公式（22.3）

式中Y为自由变量X推算因变量Y的估计值，a为回归直线在Y轴上的截距，即X=0时的Y值；b为样本回归系数（regression coefficient），即回归直线的斜率（slope或称坡度），表示当X变动一个单位时，Y平均变动b个单位。如果已知a与b，用以代入公式（22.3），即可求得直线回归方程。求a和b的公式分别为：

公式（22.4）

公式（22.5）

对样本中两个变量分析，不但可作相关分析，还可进一步作直线回归分析。仍以表22-1为示范，该例经过直线相关分析，r=0.6097，两变量间有直线关系，从相关系数计算时，已求得：

Σ（X-x）（Y-Y）=41.2000

Σ（X-x）²=677.4194

而Y=ΣY/n=99.2/31=3.2000

x=ΣY/n=534/31=17.2258

代入公式（22.4）

b=41.2000/677.4194=0.0608

代入公式（22.5）

a=3.2000-0.0608×17.2258=2.1527

代入公式（22.3）

=2.1527+0.0608X

 

（二）样本回归系数的假设检验

样本回归系数也有抽样误差问题，故需对b作假设检验，以评估b是否可能从回归系数为零（即β=0）的总体中随机抽得的。

检验步骤：

H₀：β=0 即b是由β=0的总体中随机抽样的样本回归系数。

H₁：β≠0

α=0.05

t检验：检验公式为

t_b=｜b｜/s_b公式（22.6）

式中s_b是回归系数的标准误，计算公式为

公式（22.7）

式中s_y.x为各观察值Y距回归直线（Y）的标准差，是当X的影响被扣除后Y方面的变异指标。可用以下公式计算：

公式（22.8）

公式（22.9）

本例上述已算得

Σ（X-x）²=677.4194

Σ（Y-Y）²=6.7400

Σ（X-x）(Y-Y)=41.2000

分别代入公式（22.9）,(22.8),(22.7)和(22.6)得

Σ(Y-Y)^２＝6.7400-41.2000²/677.4194=4.2343

t_b=0.0608/0.01468=4.1417

分析评价 本例自由度v=31-2=29，查t值表，t_0.01（29）=2.756,P＜0.01,按α=0.05检验水准，拒绝无效假设，可以认为待产妇24小时尿中雌三醇含量与初生儿体重之间存在直线回归关系。

 

（三）描绘回归直线

根据以上求得回归方程Y=2.1527+0.0608x，可以在自变量X的实测范围内（本例为7～27）任取X₁和X₂两值代入上式求得在图22-2中的P₁（X₁，Y₁）和P₂（X₂，Y₂）两坐标点，将两点连结为一直线，就属该方程的回归直线。作图要注意的是P₁、P₂两点最好距离远些，绘出的直线在坐标上误差就小些。